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Analysis 1 [MA1001] - WS 2017/18

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Analysis ist eines der Grundlagengebiete der Mathematik. Ihre Ideen und Methoden reichen auf der einen Seite weit in die Natur- und Ingenieurswissenschaften hinein, und spielen andererseits in vielen theoretischen Zweigen der Mathematik wie Topologie, Geometrie, Stochastik eine wichtige Rolle. In Ihrem weiteren Studium werden Sie die Ergebnisse und Methoden der Vorlesung Analysis 1 in zahlreichen forgeschrittenen Veranstaltungen benoetigen, z.B. in den Gebieten Differentialgleichungen, numerische Mathematik, Finanzmathematik, mathematische Physik, Datenwissenschaften (data science).

Der zentrale Begriff, der die Analysis z.B. von der Algebra unterscheidet, ist der Begriff des Grenzwertes. In der Analysis koennen mathematische Objekte nicht nur durch Aneinanderreihung endlich vieler Grundoperationen (z.B. Addition, Multiplikation, ...), sondern auch durch ''Grenzwertbildung'' erzeugt werden.

Interessante Zahlen wie z.B. die Wurzel aus 2 oder die Kreiszahl Pi sind weder Brueche noch endliche oder periodische Dezimalbrueche, sondern Grenzwerte solcher vergleichsweise einfachen Zahlen. Intessante Funktionen wie Sinus, Kosinus, Exponentialfunktion sind keine Polynome (ein typisches Beispiel eines Polynoms ist f(x) = x^3 - 5 x^2 + 2 x - 1), sondern Grenzwerte solcher vergleichsweise einfachen Funktionen. Z.B. werden wir lernen, dass und warum cos(x) = 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 + - ... Ableitungen und Integrale sind Grenzwerte von Differenzenquotienten bzw. von Summen von Rechtecksflaecheninhalten. Zu Beginn der Vorlesung werden wir uns ausfuehrlich mit der Frage beschaeftigen¸ was eigentlich in einem strengen mathematischen Sinne mit ''Grenzwert'' einer Folge von Zahlen gemeint ist. Dies ist keine einfache Sache, und fuehrt auf den Begriff der reellen Zahlen als natuerliche Verallgemeinerung der Brueche bzw. endlichen oder periodischen Dezimalbrueche. Anschliessend beschaeftigen wir uns mit ''allgemeinen'' sowie auch interessanten ''speziellen'' Funktionen, mit Rechenoperationen fuer Funktionen wie z.B. Ableiten und Integrieren, und mit sorgfaeltig ausgewaehlten Anwendungen dieser Techniken wie etwa dem Loesen einfacher Differentialgleichungen.

Hierbei werde ich versuchen,

simultan und in einander ergaenzender Weise vorzustellen.

News

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Stundenplan

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Vorlesung   Montag    14:00 - 15:30   MI HS 1  
  Freitag    8:30 - 10:00   Interims-HS 101     nicht: 1.12.
  Dienstag    12:00 - 13:30   MI HS 1 nur 17.10., 24.10., 14.11., 28.11., 5.12., 12.12., 9.1.2018, 23.1., 6.2.

Zentralübung   Donnerstag    14:15 - 15:45   MI HS 1     nur 2.11., 23.11., 14.12., 18.1.

Übungen    Dienstag    10:00 - 12:00   MW 0337    Gruppe 1   Beginn: 24.10.2017
  Dienstag     14:00-16:00   MI 00.07.014    Gruppe 2   Beginn: 24.10.2017
  Dienstag     14:00-16:00   MI 03.06.011    Gruppe 3   Beginn: 24.10.2017
  Mittwoch     10:00-12:00   MI 03.08.011    Gruppe 4   Beginn: 25.10.2017
  Mittwoch     14:00-16:00   MI 03.06.011    Gruppe 5   Beginn: 25.10.2017
  Mittwoch     16:00-18:00   MI 03.10.011    Gruppe 6   Beginn: 25.10.2017
  Donnerstag     10:00-12:00   MI 03.10.011    Gruppe 7   Beginn: 26.10.2017
  Donnerstag     16:00-18:00   MI 02.08.011    Gruppe 8   Beginn: 26.10.2017

Ergänzungen   Montag    16:00-17:00   MI 00.09.022 Mathematik richtig schreiben Beginn: 23.10.2017
  Montag   16:00-17:00   MI 02.04.011   Wiederholen und Verstehen Beginn: 23.10.2017
  Montag   17:00-18:00   MI 00.09.022   Mathematik richtig schreiben Beginn: 23.10.2017
  Montag   17:00-18:00   MI 02.04.011   Wiederholen und Verstehen Beginn: 23.10.2017
  Dienstag   14:00-15:00   MI 02.08.020   Ausgewählte Zusatzaufgaben (mit schönen Lösungen) Beginn: 24.10.2017
  Dienstag   15:00-16:00   MI 02.08.020   Wiederholen und Verstehn Beginn: 24.10.2017
  Mittwoch   15:00-16:00   MI 00.08.053   Ausgewählte Zusatzaufgaben (mit schönen Lösungen) Beginn: 25.10.2017
  Mittwoch   16:00-17:00   MI 00.08.053   Ausgewählte Zusatzaufgaben (mit schönen Lösungen) Beginn: 25.10.2017
  Montag   11:00-12:00   MI 00.07.014   Fortgeschrittene Ideen der Analysis (und fortgeschrittene Fragestellungen aus Mathematik und Naturwissenschaften)   Beginn: 30.10.2017

Kursmaterial

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Woche 1
Vorlesung 1 Einleitung; Konvergenzbegriff   VL 1
Vorlesung 2 Praezise Beschreibung der reellen Zahlen; Folgerungen aus den Axiomen   VL 2
Übungsblatt Grenzwerte; reelle Zahlen   Blatt 1 Lösung 1
Woche 2
Vorlesung 3 Weitere Folgerungen aus den Axiomen; Wurzel aus 2   VL 3
Vorlesung 4 Wurzel aus 2 (Details); Induktion; Dezimaldarstellung natuerlicher Zahlen   VL 4
Woche 3
Vorlesung 5 Dezimalbruchentwicklung reeller Zahlen   VL 5
Vorlesung 6 Konvergenz von Folgen: Kalkuel der Grenzwerte, Monotoniekriterium   VL 6
Übungsblatt Grenzwerte; reelle Zahlen   Blatt 2 Lösung 2
Woche 4
Vorlesung 7 Definition von e, effiziente Wurzelbestimmung, Einschliessungskriterium   VL 7
Vorlesung 8 Cauchy'sches Konvergenzkriterium, Satz von Bolzano-Weierstrass   VL 8
Übungsblatt siehe Woche 3    
Woche 5
Vorlesung 9 Funktionen, Polynome, rationale Funktionen, Stetige Funktionen (Definition, Beispiele)   VL 9
Vorlesung 10 Zwischenwertsatz; Beispiele, insbesondere n-te Wurzel   VL 10
Vorlesung 11 Umkehrfunktion; Konvergenz gegen Unendlich; Kurvendiskussion fuer n-te Potenzfunktion und n-te Wurzel   VL 11
Übungsblatt Teilfolgen, Häufungspunkte, Kettenbrüche   Blatt 3 Lösung 3
Woche 6
Vorlesung 12 Stetigkeit von Umkehrfunktion und Verkettung; Satz vom Maximum und Minimum; komplexe Zahlen (Def. und Beispiele)   VL 12
Vorlesung 13 Komplexe Zahlen: Konjugation, Eigenschaftden des Absolutbetrags, Wurzelziehen   VL 13
Übungsblatt Umkehrfunktion, Stetigkeit, Komplexe Zahlen   Blatt 4 Lösung 4
Woche 7
Vorlesung 14 Konvergenz und Stetigkeit im Komplexen   VL 14
Vorlesung 15 Reihen   VL 15
Übungsblatt Kehrwerte und Wurzeln komplexer Zahlen   Blatt 5 Lösung 5
Woche 8
Vorlesung 16 Umordnung von Reihen; Historische Def. der reellen Exponentialfunktion   VL 16
Vorlesung 17 Komplexe Exponentialfunktion   VL 17
Vorlesung 18 Reelle Exponentialfunktion, Logarithmus, Exponentialfkt. fuer imaginaere Argumente   VL 18
Übungsblatt Konvergenz und Divergenz von Reihen, Exponentialfunktion   Blatt 6 Lösung 6
Woche 9
Vorlesung 19 Sinus und Cosinus (Reihendarstellung; Eigenschaften)   VL 19
Vorlesung 20 Tangens, Arcustangens, Polarkoordinaten in C, Fundamentalsatz der Algebra   VL 20
Vorlesung 21 Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra; Ableitung (Def., Beispiele)   VL 21
Übungsblatt Exponentialfunktion, Sinus, Cosinus und Tangens   Blatt 7 

Lehrbuecher

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Personen

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  Name eMail Buero Sprechstunde
Dozent   Gero Friesecke  gfma.tum.de   MI 03.08.054   Vorlesungspause und nach der Vorlesung
Uebungsleiter   Hans-Peter Kruse  kruse@ma.tum.de MI 02.12.057   Nach den Übungen

-- GeroFriesecke - 09 Oct 2017